Если у вас есть настроение озадачиться, казалось бы, непримиримыми фактами, мы подготовили для вас такой список.
Автор: Пол Энтони Джонс
Парадокс — это утверждение или проблема, которые либо приводят к двум совершенно противоречивым (но возможным) результатам, либо служат доказательством чего-то, что идет вразрез с нашими интуитивными ожиданиями. Парадоксы занимают центральное место в философском мышлении на протяжении многих веков и всегда готовы бросить вызов нашей интерпретации простых ситуаций, переворачивая с ног на голову то, что мы можем считать истиной, и представляя нам доказательно правдоподобные ситуации, которые на самом деле столь же доказательно невозможны. В итоге вы сбиты с толку? Так и должно быть.
1. Парадокс Ахиллеса и черепахи
Парадокс об Ахиллесе и черепахе — одно из теоретических рассуждений о движении, выдвинутых греческим философом Зеноном из Элеи в V веке до нашей эры. Она начинается с того, что великий герой Ахиллес вызывает черепаху на состязание в беге. Чтобы все было честно, он соглашается дать черепахе фору, скажем, в 500 метров. Когда забег начинается, Ахиллес, что неудивительно, начинает бежать со скоростью, намного превышающей скорость черепахи, так что к моменту, когда он достиг отметки в 500 метров, черепаха прошла всего на 50 метров дальше, чем он. Но к тому времени, как Ахиллес достиг отметки 550 метров, черепаха прошла еще 5 метров. А когда он достиг отметки 555 метров, черепаха прошла еще 0,5 метра, затем 0,25 метра, затем 0,125 метра и так далее. Этот процесс продолжается снова и снова в бесконечной череде все меньших и меньших расстояний, причем черепаха все время движется вперед, а Ахиллес все время догоняет ее.
С точки зрения логики, это должно доказывать, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху — когда бы он ни достиг того места, где была черепаха, ему всегда останется пройти какое-то расстояние, каким бы маленьким оно ни было. За исключением, конечно, того, что мы интуитивно знаем, что он может обогнать черепаху. Фокус здесь не в том, чтобы рассматривать «Ахиллесов парадокс» Зенона в терминах расстояний и гонок, а скорее как пример того, что любую конечную величину всегда можно разделить бесконечное число раз, какими бы малыми ни были ее деления.
2. Парадокс дедушки
Все мы знаем, что если вы когда-нибудь отправитесь в путешествие в прошлое, то вам точно не следует убивать собственного дедушку, чтобы не создать некий временной парадокс-слэш-разрыв в пространственно-временном континууме. Эта проблема, известная как Парадокс дедушки, представляет собой главную проблему путешествий во времени: если вы вернетесь назад и не дадите себе родиться, как вы вообще сможете вернуться в прошлое?
3. Парадокс бутстрапа
Парадокс бутстрапа — это еще один парадокс путешествия во времени, который ставит вопрос о том, как нечто, взятое из будущего и помещенное в прошлое, вообще могло появиться на свет. Это распространенный прием, используемый писателями-фантастами и вдохновляющий сюжетные линии во всем — от «Доктора Кто» до фильмов о Билле и Теде, но один из самых запоминающихся и простых примеров — профессор Дэвид Туми из Массачусетского университета, использованный в его книге «Новые путешественники во времени», — связан с автором и его рукописью.
Представьте себе, что путешественник во времени покупает в книжном магазине экземпляр «Гамлета», отправляется в прошлое, в елизаветинский Лондон, и передает книгу Шекспиру, который затем переписывает ее и называет своей собственной работой. В течение последующих столетий «Гамлет» переиздается и воспроизводится бесчисленное количество раз, пока наконец его копия не оказывается в том же самом книжном магазине, где ее находит путешественник во времени, покупает ее и возвращает Шекспиру. Кто же тогда написал «Гамлета»?
4. Парадокс корабля Тесея
Одним из самых известных парадоксов, отчасти благодаря марвеловскому шоу WandaVision, является парадокс корабля Тесея. Вот его краткое содержание.
Тесей был мифическим царем и героем Афин. (Он много плавал, и его знаменитый корабль хранился в афинской гавани как памятник/музей). Со временем древесина корабля начала гнить в разных местах. Деревянные части были заменены одна за другой. Со временем все больше частей нуждались в замене. Процесс замены гнилых досок на новые продолжался, по крайней мере в современных версиях парадокса, до тех пор, пока весь корабль не стал состоять из новых кусков дерева. Этот мысленный эксперимент задает вопрос: является ли это полностью отремонтированное судно все еще кораблем Тесея?
Давайте сделаем еще один шаг вперед: что, если кто-то другой возьмет все выброшенные, оригинальные куски дерева и соберет их в корабль. Стал бы этот объект кораблем Тесея? И если да, то что нам делать с восстановленным кораблем, стоящим в гавани? Какой из них является оригинальным кораблем?
Этот парадокс о природе идентичности во времени является предметом философских дискуссий на протяжении тысячелетий. Он проявляется и в других формах, например, в «Вопросе о дедушкином топоре» и «Вопросе о метле Триггера», в которых задается вопрос, остается ли предмет тем же самым после замены всех его составных частей.
Эта идея распространяется даже на вопросы личной идентичности. Если человек со временем кардинально меняется, причем настолько, что уже не соответствует ни одной части того, кем он был раньше, остается ли он тем же самым человеком?
5. и 6. Парадокс соритов и парадокс рогов
Еще один парадокс, связанный с неопределенной природой идентичности, — это парадокс соритов. Его предпосылка довольно проста. В общем случае речь идет о куче песка. Если вы уберете из кучи одну песчинку, она все равно, почти наверняка, останется кучей песка. Теперь отнимите еще одну песчинку. Все равно куча. Если продолжать это достаточно много раз, то в конце концов останется одна песчинка, которая, почти наверняка, уже не будет кучей. Когда же песок перестал быть кучей и начал быть чем-то другим?
Парадокс соритов связан с неясностью языка. Поскольку слово «куча» не имеет конкретного количества, природа кучи субъективна. Это также приводит к ложным предпосылкам. Например, если попытаться решить парадокс в обратном порядке, то можно начать с одной песчинки, которая не является кучей. Тогда можно утверждать, что одна песчинка плюс другая песчинка — это тоже не куча. Затем две песчинки плюс еще одна песчинка — тоже не куча. И так продолжается до утверждения «миллион песчинок не является кучей», которое, как мы знаем, не имеет смысла.
Название парадокса, Sorites, происходит от греческого слова soros, что означает «куча» или «груда». Его часто приписывают Эвбулиду Милетскому, логику IV века до н. э., который, по сути, был машиной по производству парадоксов. Большинство его парадоксов связаны с семантическими заблуждениями, как, например, парадокс Рога. Если мы примем идею «Что не потерял, то имеешь», то учтем тот факт, что вы не потеряли свои рога. Следовательно, у вас должны быть рога. И да, большинство его парадоксов столь же нелепы.
7. Парадокс лжеца
Один из самых известных парадоксов Эвбулида Милетского, «Парадокс лжеца», обсуждается и сегодня. Он имеет очень простую предпосылку, но очень умопомрачительный результат. Вот он: это предложение ложно.
Задумайтесь об этом на мгновение. Если это утверждение истинно, то это означает, что предложение на самом деле ложно, как оно и утверждает. Но тогда это будет означать, что предложение ложно. А если предложение «это предложение ложно» ложно, значит, оно истинно. Но если верно, что оно ложно, то… вы поняли. Это продолжается до бесконечности.
8. Парадокс Пиноккио
Парадокс лжеца много раз обсуждался и адаптировался, что в итоге привело к парадоксу Пиноккио. Он имеет ту же общую структуру, но с добавлением визуального компонента. Представьте себе Пиноккио, произносящего утверждение «Мой нос теперь длиннее». Если он говорит правду, то его нос должен вырасти длиннее, как он и сказал. Но, как мы знаем, нос Пиноккио растет только в том случае, если он говорит неправду. Это значит, что если бы его нос действительно вырос, то утверждение было бы ложным. Но если утверждение «мой нос теперь длиннее» ложно, значит, он вообще не должен был расти… У вас уже взорвался мозг?
Эта версия парадокса была создана в 2001 году 11-летней дочерью философа Питера Элдриджа-Смита. Он изложил его вкратце следующим образом: «Нос Пиноккио вырастет тогда и только тогда, когда он не вырастет».
9. Карточный парадокс
Представьте, что вы держите в руках открытку, на одной стороне которой написано: «Утверждение на другой стороне этой открытки истинно». Назовем это утверждением А. Переверните открытку, и на противоположной стороне будет написано: «Утверждение на другой стороне этой открытки ложно» (утверждение В). Однако попытка приписать истинность высказыванию А или В приводит к парадоксу: если А истинно, то и В должно быть истинным, но для того, чтобы В было истинным, А должно быть ложным. И наоборот, если А ложно, то и Б должно быть ложным, что в конечном итоге делает А истинным. Карточный парадокс — это простая вариация парадокса лжеца, придуманная британским логиком Филипом Журданом в начале 1900-х годов.
10. Парадокс крокодила
Другой вариант парадокса лжеца на самом деле помог сформировать язык в XVI веке. Крокодил выхватывает маленького мальчика с берега реки. Его мать умоляет крокодила вернуть его, на что крокодил отвечает, что вернет мальчика в целости и сохранности только в том случае, если мать сможет правильно угадать, действительно ли он вернет мальчика. Нет никаких проблем, если мать угадает, что крокодил его вернет — если она права, его возвращают; если она ошибается, крокодил оставляет его себе.
Однако если она ответит, что крокодил его не вернет, то получится парадокс: если она права и крокодил никогда не собирался возвращать ее ребенка, то крокодил должен его вернуть, но при этом он нарушает свое слово и противоречит ответу матери. С другой стороны, если она не права и крокодил действительно собирался вернуть мальчика, то крокодил должен оставить его у себя, даже если он не собирался этого делать, тем самым также нарушив свое слово.
Парадокс крокодила — настолько древняя и устойчивая логическая проблема, что в Средние века слово crocodilite стало использоваться для обозначения любой подобной дилеммы, когда вы признаете что-то, что впоследствии используется против вас, а crocodility — столь же древнее слово, обозначающее придирчивое или ошибочное рассуждение.
11. Парадокс Ньюкомба
Еще одно место, где возникает необходимость сделать выбор, — парадокс Ньюкомба. Представьте, что вы входите в комнату, где стоят две коробки. Вы видите, что в первой коробке лежит 1000 долларов. Но вторая коробка — это загадка.
Перед тем как вы вошли в комнату, некая всезнающая сущность сделала предсказание о том, какой выбор вы сделаете. Если оно предсказало, что вы возьмете только вторую коробку, то в ней будет лежать $1 млн. Но если оно предсказало, что если вы возьмете обе коробки, то вторая коробка окажется пустой, и вы уйдете с $1000 и двумя коробками.
Что же делать? Одна сторона утверждает, что нужно взять только вторую коробку — в конце концов, это всезнающая сущность, которая делает предсказания. Другая сторона утверждает, что решение сущности уже принято. Все, что вы делаете сейчас в этой комнате, никак не повлияет на стоимость долларов в коробках, так что с тем же успехом можно рискнуть. И люди могут удивительным образом разделиться во мнениях — в 2016 году ненаучный онлайн-опрос газеты The Guardian, которая назвала этот парадокс «одной из самых спорных загадок философии», показал, что 53,5 % выбрали только вторую коробку, а 46,5 % — обе коробки.
12. Парадокс дихотомии
Представьте, что вы собираетесь отправиться в путь по улице. Чтобы добраться до другого конца, вам придется пройти половину пути. А чтобы пройти половину пути, вам придется пройти четверть пути. А чтобы пройти четверть пути, сначала нужно пройти восьмую часть пути. А до этого — 16-ю часть пути, затем 32-ю часть пути, 64-ю часть пути и так далее.
В итоге, чтобы выполнить даже такую простейшую задачу, как прогулка по улице, вам придется выполнить бесконечное количество более мелких задач, что по определению совершенно невозможно. Мало того, какой бы маленькой ни была первая часть пути, ее всегда можно уменьшить вдвое, чтобы создать другую задачу; единственный способ, при котором ее нельзя уменьшить вдвое, — это считать, что первая часть пути не имеет абсолютно никакого расстояния, а чтобы выполнить задачу по перемещению на любое расстояние, вы не можете даже начать свое путешествие с самого начала.
13. Парадокс мальчика или девочки
Представьте, что в семье есть двое детей, один из которых, как мы знаем, мальчик. Какова тогда вероятность того, что второй ребенок-мальчик? Очевидным ответом будет сказать, что вероятность равна 1/2 — ведь второй ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, а шансы на рождение ребенка мальчиком или девочкой (по сути) равны. Однако в семье с двумя детьми на самом деле существует четыре возможных комбинации детей: два мальчика (MM), две девочки (FF), старший мальчик и младшая девочка (MF), старшая девочка и младший мальчик (FM). Мы уже знаем, что один из детей — мальчик, поэтому можем исключить комбинацию FF, но это оставляет нам три равновероятные комбинации детей, в которых хотя бы один — мальчик, а именно MM, MF и FM. Это означает, что вероятность того, что второй ребенок — мальчик — ММ, должна быть 1/3, а не 1/2.
14. Парадокс флетчера
Представьте, что флетчер (т.е. изготовитель стрел) выпустил одну из своих стрел в воздух. Чтобы стрела считалась движущейся, она должна постоянно перемещаться из того места, где она сейчас находится, в любое другое место, где её в данный момент нет. Парадокс Флетчера, однако, утверждает, что на протяжении всей своей траектории стрела фактически не движется. В любой момент времени, не имеющий реальной продолжительности (иными словами, это моментальный снимок во времени) во время полета, стрела не может переместиться туда, где ее нет, потому что для этого нет времени. И она не может переместиться туда, где она находится сейчас, потому что она уже там. Значит, в этот момент времени стрела должна быть неподвижна. Но поскольку все время состоит из мгновений, в каждое из которых стрела также должна быть неподвижной, то стрела должна быть неподвижной все это время. Но это, конечно, не так.
14. Парадокс бесконечности Галилея
В своей последней письменной работе «Рассуждения и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам» (1638) легендарный итальянский эрудит Галилео Галилей предложил математический парадокс, основанный на отношениях между различными наборами чисел. С одной стороны, по его мнению, существуют квадратные числа — 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. С другой стороны, есть числа, которые не являются квадратами, например 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и так далее. Если сложить эти две группы вместе, то, конечно, чисел в целом должно быть больше, чем квадратных, или, говоря иначе, общее число квадратных чисел должно быть меньше, чем общее число квадратных и неквадратных чисел вместе. Однако, поскольку каждое положительное число должно иметь соответствующий квадрат, а каждое квадратное число должно иметь положительное число в качестве своего квадратного корня, не может быть больше одного, чем другого.
Запутались? Не только вы. В ходе обсуждения своего парадокса Галилею не оставалось ничего другого, как прийти к выводу, что такие числовые понятия, как больше или меньше, можно применять только к конечным наборам чисел, а поскольку существует бесконечное число квадратных и неквадратных чисел, эти понятия просто не могут быть использованы в данном контексте.
15. Картофельный парадокс
Представьте себе, что у фермера есть мешок, в котором 100 фунтов картофеля. Он обнаруживает, что картофель на 99 % состоит из воды и на 1 % из твердых частиц, и оставляет его на солнце на день, чтобы количество воды в нем уменьшилось до 98 %. Но когда он возвращается к ним на следующий день, то обнаруживает, что его 100-фунтовый мешок теперь весит всего 50 фунтов. Как такое может быть?
Если 99 процентов 100 фунтов картофеля составляет вода, то вода должна весить 99 фунтов. 1 процент твердых частиц в итоге должен весить всего 1 фунт, что дает соотношение твердых и жидких частиц 1:99. Если же картофель обезвоживается до 98 процентов воды, то твердые частицы должны составлять 2 процента от веса — соотношение 2:98, или 1:49 — несмотря на то, что твердые частицы по-прежнему весят всего 1 фунт. Вода, в конечном счете, должна весить 49 фунтов, что дает общий вес 50 фунтов, несмотря на уменьшение содержания воды всего на 1 процент.
Хотя это и не настоящий парадокс в строгом смысле слова, контринтуитивный картофельный парадокс является известным примером так называемого верического парадокса, когда базовая теория доводится до логического, но на первый взгляд абсурдного завершения.
16. Парадокс Ворона
Парадокс ворона также известен как парадокс Гемпеля, по имени немецкого логика, предложившего его в середине 1940-х годов. Парадокс ворона начинается с, казалось бы, простого и абсолютно верного утверждения, что «все вороны черные». Ему соответствует «логически контрапозитивное» (то есть отрицательное и противоречивое) утверждение, что «все, что не черное, не является вороной», которое, несмотря на кажущуюся ненужность, также является истинным, если мы знаем, что «все вороны черные». Хемпель утверждает, что всякий раз, когда мы видим черную ворону, это служит доказательством в пользу первого утверждения. Но если мы видим что-то нечерное, например, яблоко, то это тоже должно восприниматься как доказательство, подтверждающее второе утверждение — ведь яблоко не черное, как и ворон.
Парадокс заключается в том, что Гемпель, по-видимому, доказал, что видение яблока дает нам доказательство, каким бы несвязанным оно ни казалось, что вороны — черные. Это эквивалентно тому, как если бы вы сказали, что живете в Нью-Йорке, это доказательство того, что вы не живете в Лос-Анджелесе, или как если бы вы сказали, что вам 30 лет, это доказательство того, что вам не 29. Как много информации может содержать одно утверждение?
17. Треугольник Пенроуза
В то время как большинство парадоксов представлено в устной или письменной философской форме, некоторые из них имеют визуальную природу. Возьмем, к примеру, треугольник Пенроуза. Это объект, который один из его создателей назвал «невозможностью… в чистом виде», но вы можете построить такой объект и показать его людям. Очевидно, что это трюк с пропорциями и углами обзора, но даже после того, как вы раскроете этот трюк, люди все равно будут видеть в нем невозможный треугольник.
Возможно, вы знакомы с вариациями этих «визуальных парадоксов» по их изображениям в работах MC Escher, который является символом искусства, поражающего воображение. Например, на его картине «Водопад» 1961 года изображен невозможный объект.
В оригинальном материале после 17 парадокса сразу идет 19 — прим.дер.
19. Парадокс Гильберта о Гранд-отеле
Парадокс Гильберта о Гранд-отеле — это знаменитый мысленный эксперимент, который призван показать контринтуитивную природу бесконечности. Представьте, что вы заходите в большой, красивый отель и ищете номер. Насколько большой? Бесконечно большой. В этом отеле несчетно бесконечное количество номеров. Однако в настоящее время все номера заняты счетно бесконечным числом гостей. (Счетно бесконечное число означает, что ко всему множеству можно один к одному присоединить натуральное число). Можно было бы предположить, что отель не сможет разместить вас, не говоря уже о большем количестве гостей, но парадокс Гильберта доказывает, что это не так.
Чтобы разместить вас, отель может, гипотетически, переселить гостя из первого номера во второй. Одновременно гость из второго номера может быть переведен в третий, и так далее, что приведет к перемещению каждого гостя из его текущего номера, x, в новый номер, x+1. Поскольку комнат бесконечное множество, каждый получит новую комнату, и теперь комната номер один полностью свободна. Наслаждайтесь отдыхом.
А что, если мы захотим применить эту идею к любому количеству конечных гостей? Допустим, приехали 3000 человек и хотят получить комнаты. Нет проблем, просто повторите процесс, но вместо x+1 просто сделайте x+y-y, в данном случае это 3000.
А что, если за вами выстроится счетно бесконечное число людей, каждый из которых хочет получить комнату? Для этого тоже есть решение. Теперь схема будет 2x. Просто переместите гостя из первой комнаты во вторую, гостя из второй — в четвертую, гостя из третьей — в шестую и так далее. При этом все нечетные комнаты останутся свободными, и каждый новый постоялец сможет занять одну из освободившихся нечетных комнат, а все предыдущие постояльцы будут переселены в следующую четную комнату.
В основе «Парадокса Гранд-отеля» лежит идея контринтуитивных результатов, которые, тем не менее, являются доказуемо истинными. В данном примере утверждения «в каждом номере есть постоялец» и «больше гостей разместить нельзя» — не одно и то же из-за природы бесконечности. В обычном наборе чисел, таком как количество номеров в обычном отеле, число нечетных номеров, очевидно, будет меньше, чем общее количество номеров. Но в случае с бесконечностью это не так, поскольку существует бесконечное число нечетных номеров и бесконечное число общих номеров.
Этот парадокс был впервые представлен философом Дэвидом Гильбертом в лекции 1924 года и с тех пор используется для демонстрации различных принципов бесконечности.
20. Парадокс интересных чисел
Парадокс интересных чисел — это, пожалуй, вовсе не парадокс, хотя его часто называют таковым. По сути, он доказывает, что все числа «интересны» — даже скучные… которые на самом деле интересны, конечно, а вовсе не скучны… потому что они скучны.
Интересное в данном случае означает, что в нем есть что-то уникальное. Например, 1 — первое ненулевое натуральное число; 2 — самое маленькое простое число; 3 — первое нечетное простое число. Список можно продолжать до тех пор, пока вы не дойдете до первого «неинтересного» числа. В нем нет ничего особенного или интересного. Но, будучи первым неинтересным числом, на которое вы наткнулись, оно, по сути, уникально, а значит, интересно.
Гипотетически этот процесс можно повторять бесконечно. Эта идея родилась в результате дискуссии между математиками Сринивасой Рамануджаном и Г.Х. Харди. Харди заметил, что номер такси, в котором он недавно ехал, 1729, «довольно скучный». Рамануджан ответил, что на самом деле оно интересное: это наименьшее число, которое является суммой двух кубов двумя разными способами.
Оригинал: Pocket
